Có bao nhiêu số nguyên $y$ nằm trong khoảng $(-2024;+\infty )$ sao cho với mỗi giá trị của $y$ tồn tại nhiều hơn hai số thực $x$ thỏa mãn $x^2+y+(x^2-x)\cdot 2024^{x+y}=(2x^2-x+y)\cdot 2024^{x-x^2}$?

Ta có: $x^2+y+(x^2-x)\cdot 2024^{x+y}=(2x^2-x+y)\cdot 2024^{x-x^2}\iff (x^2+y)\cdot 2024^{x^2-x}+(x^2-x)\cdot 2024^{x^2+y}=2x^2-x+y\iff (x^2+y)(2024^{x^2-x}-1)+(x^2-x)(2024^{x^2+y}-1)=0$ (1). Nếu $(x^2+y)(x^2-x)\ne 0$ thì $(1)\iff \frac{2024^{x^2-x}-1}{x^2-x}+\frac{2024^{x^2+y}-1}{x^2+y}=0$ (2); vế trái của (2) luôn dương (vì $\frac{2024^t-1}{t}>0,\forall t\ne 0$) nên (2) vô nghiệm. Do đó $(1)\iff [<table><tbody><tr><td>x^2-x=0</td></tr><tr><td>x^2+y=0</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x^2=-y</td></tr></tbody></table>$. Yêu cầu bài toán $\iff -y>0\iff y<0$ (với $y=-1$ có $3$ nghiệm $x\in \{-1;0;1\}$). Do $y\in \mathbb{Z}$ và $y\in (-2024;+\infty )$ nên $y\in \{-2023;-2022;\dots ;-1\}$. Vậy có $2023$ số nguyên $y$ thỏa mãn.