Cho phương trình $m\cdot 2^{x^2-4x-1}+m^2\cdot 2^{2x^2-8x-1}=7{\log }_2(x^2-4x+{\log }_{2}m)+3$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu số nguyên $m$ sao cho phương trình đã cho có $2$ nghiệm thực phân biệt?

Điều kiện: $m>0$ và $t=x^2-4x+{\log }_{2}m>0$.
Khi đó $m\cdot 2^{x^2-4x}=2^{x^2-4x+{\log }_{2}m}=2^t$, phương trình đã cho trở thành:
$\frac{1}{2}\cdot 2^t+\frac{1}{2}\cdot 2^{2t}=7{\log }_{2}t+3\iff 2^{2t}+2^t-14{\log }_{2}t-6=0$.
Xét hàm số $f(t)=2^{2t}+2^t-14{\log }_{2}t-6$ trên $(0;+\infty )$, ta có:
$f^{\prime }(t)=2^{2t}\ln 4+2^t\ln 2-\frac{14}{t\ln 2}$ và $f^{\prime \prime }(t)=2^{2t}{\ln }^{2}4+2^t{\ln }^{2}2+\frac{14}{t^2\ln 2}>0,\forall t>0$.
Do đó $f^{\prime }(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra phương trình $f(t)=0$ có tối đa $2$ nghiệm.
Nhận thấy $f(1)=f(2)=0$, nên:
$f(t)=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=1</td></tr><tr><td>t=2</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>{\log }_{2}m=-x^2+4x+1</td></tr><tr><td>{\log }_{2}m=-x^2+4x+2</td></tr></tbody></table>$.
Vẽ hai parabol $y=-x^2+4x+1$ (đỉnh $(2;5)$) và $y=-x^2+4x+2$ (đỉnh $(2;6)$) trên cùng mặt phẳng tọa độ:
Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:
$5<{\log }_{2}m<6\iff 32<m<64$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{33;34;\dots ;63\}$, có $31$ giá trị nguyên của $m$.
Chọn đáp án A.

[IMAGE:img_1]