Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;-2;6)$, $B(0;1;0)$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$. Mặt phẳng $(P):ax+by+cz-2=0$ đi qua $A,B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $2\sqrt{5}$. Tính $T=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-2y+8z-1=0$ có tọa độ tâm là

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(1;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z-8=0$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=27$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(0;0;-4),B(2;0;0)$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Gọi $(N)$ là khối nón có đỉnh là tâm của $(S)$, đáy là hình tròn $(C)$. Khi $(N)$ có thể tích lớn nhất, mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình dạng $ax+by-z+c=0$. Giá trị của $a-2b+3c$ bằng

Tại buổi lễ Tri ân và Trưởng thành cho học sinh khối 12 của một trường THPT CVP. Kết thúc buổi lễ một học sinh đại diện cho các bạn khối 12 thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1$ m, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình là $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-10{)}^2=2$. Cùng thời điểm đó có ba chiếc flycam $A,B,C$ cách nhau $3$m, $4$m, $5$m và tạo thành tam giác $ABC$ có ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-y+2z-17=0$ và có phương trình dạng $2x+ay+bz+c=0$. Tổng giá trị của $T=a+b+c$ là bao nhiêu?

Người ta cắt hai hình cầu có bán kính lần lượt là $R=13$ cm và $r=\sqrt{41}$ cm để làm hồ lô đựng rượu như hình vẽ bên. Biết đường tròn giao của hai hình cầu có bán kính $r^{\prime }=5$ cm và nút đựng rượu là một hình trụ có bán kính đáy bằng $5$ cm, chiều cao bằng $4$ cm. Giả sử độ dày vỏ hồ lô không đáng kể. Hỏi hồ lô đựng được bao nhiêu lít rượu? (kết quả làm tròn đến phần mười).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $I(1;-1;1)$ và $A(1;2;1)$. Phương trình của mặt cầu có tâm $I$ và đi qua $A$ là