Cho hàm số $y=x^3+3x^2-4mx+2m-1$. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục $Ox$ có diện tích phần nằm phía trên trục $Ox$ và phần nằm dưới trục $Ox$ bằng nhau. Giá trị của $m$ là

Chọn A.
Nhận xét: để diện tích phần phía trên trục $Ox$ bằng diện tích phần phía dưới trục $Ox$ thì đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số cộng.
Nghĩa là phương trình $x^3+3x^2-4mx+2m-1=0$ (*) có ba nghiệm $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_1+x_3=2x_2$.
Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2+x_3=-3\iff 3x_2=-3\iff x_2=-1$.
Thế $x_2=-1$ vào phương trình (*) ta được:
$$(-1{)}^3+3(-1{)}^2-4m(-1)+2m-1=0\iff -1+3+4m+2m-1=0\iff 6m+1=0\iff m=-\frac{1}{6}.$$
Thử lại với $m=-\frac{1}{6}$, phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng, thỏa mãn.
Vậy $m=-\frac{1}{6}$.