Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên:


Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-2021;2021]$ để phương trình $\log \left(\frac{f(x)}{m{x}^2}\right)+x[f(x)-mx]=m{x}^3-f(x)$ có hai nghiệm dương phân biệt?

Chọn A.
Từ đồ thị hàm số, $y=f(x)$ là hàm số bậc bốn trùng phương có 3 điểm cực trị là $-1,0,1$, đồ thị đi qua $(0;4)$ và $(1;3)$ nên:
$$f(x)=x^4-2x^2+4\ge 3,\forall x.$$
Điều kiện: $\frac{f(x)}{m{x}^2}>0\Rightarrow m>0$.
Phương trình tương đương:
$$\log f(x)-\log (m{x}^2)+xf(x)-m{x}^2+f(x)-m{x}^3=0$$
$$\iff \log f(x)+(x+1)f(x)=\log (m{x}^2)+(x+1)m{x}^2$$
$$\iff \log [(x+1)f(x)]+(x+1)f(x)=\log [(x+1)m{x}^2]+(x+1)m{x}^2\text{ (do }x+1>0\text{)}.$$
Xét hàm đặc trưng $g(t)=\log t+t$ đồng biến với mọi $t>0$, suy ra:
$$(x+1)f(x)=(x+1)m{x}^2\iff m=\frac{f(x)}{x^2}=\frac{x^4-2x^2+4}{x^2}={\left(x+\frac{2}{x}\right)}^2-6.$$
Đặt $u=x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{2}$ (theo BĐT Cô-si cho $x>0$). Khi đó $m=u^2-6$.
Với mỗi giá trị $u>2\sqrt{2}$ cho đúng hai giá trị $x>0$ phân biệt.
Do đó phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $m>(2\sqrt{2}{)}^2-6=2$.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-2021;2021]$ ta có $m\in \{3;4;\dots ;2021\}$.
Số giá trị thỏa mãn là: $2021-3+1=2019$ giá trị.