Biết ${\int }_2^{e+1}\frac{\ln (x-1)}{(x-1{)}^2}dx=a+b{e}^{-1}$ ($a,b\in \mathbb{Q}$). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Đặt $t=x-1⟹dt=dx$.
Khi $x=2⟹t=1$; khi $x=e+1⟹t=e$.
Tích phân trở thành:
$$I={\int }_1^e\frac{\ln t}{t^2}dt.$$
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
- Đặt $u=\ln t⟹du=\frac{1}{t}dt$.
- Đặt $dv=\frac{1}{t^2}dt⟹v=-\frac{1}{t}$.
Khi đó:
$$I={\left[-\frac{\ln t}{t}\right]}_1^e+{\int }_1^e\frac{1}{t^2}dt=-\frac{1}{e}+{\left[-\frac{1}{t}\right]}_1^e=-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+1=1-\frac{2}{e}=1-2e^{-1}.$$
So sánh với $a+b{e}^{-1}$, ta có $a=1,b=-2$.
Khi đó:
$$2a^2-3b=2(1{)}^2-3(-2)=2+6=8.$$