Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[1;2]$ và thỏa mãn ${\int }_1^2(x-2{)}^{2}f(x)dx=-\frac{1}{21},f(1)=0,{\int }_1^2[f^{\prime }(x){]}^{2}dx=\frac{1}{7}$. Tính ${\int }_1^{2}xf(x)dx$.

Câu 1. Kết quả của tích phân ${\int }_0^{2026}{2}^{x}dx$ là

Câu 17. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2\text{ m}$, với $O,K$ lần lượt là trung điểm $AB,BC$. Parabol đỉnh $O$ đi qua $2$ điểm $C,D$, parabol đỉnh $K$ đi qua $2$ điểm $A,D$. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ theo đơn vị ${\text{m}}^2$.

Câu 3. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $F(1)=-1$, $F(3)=5$.

Một resort muốn đắp đồi trượt cỏ cho trẻ em. Đường trượt được thiết kế bắt đầu từ vị trí $A$ cao $3\text{ m}$ thoải dần theo dạng một parabol $(P_1)$ có đỉnh ngay vị trí bắt đầu trượt và được kết nối với một parabol $(P_2)$ tại $N$ cách vị trí ban đầu $4\text{ m}$ theo phương ngang. Về mặt kỹ thuật, để đường trượt mượt mà thì vị trí kết nối này phải đảm bảo hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm kết nối của cả hai parabol trên phải bằng nhau. Parabol $(P_2)$ có đỉnh ở vị trí kết thúc $B$ có cao độ bằng $0$ và cách vị trí ban đầu $10\text{ m}$ theo phương ngang. Hình bên dưới thể hiện mặt cắt bên của đồi trượt cỏ.
[IMAGE:img_q18_hill]

Biết đồi trượt rộng $5\text{ m}$, tính số mét khối đất đắp thành đồi trượt.

Nếu ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[2f(x)-3\sin x]dx=1$ thì ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx$ bằng

Biết   x + dx = a + 2ln b , với a, b  . Tổng a + b bằng
1
x