Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng 2. Trên đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ lấy điểm $M$ sao cho $AM=x$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên $AB,MB$. Đường thẳng qua $E,F$ cắt $d$ tại $N$. Xác định $x$ để thể tích khối tứ diện $BCMN$ nhỏ nhất.

Câu 10. Một hợp tác xã cần vận chuyển $3600\text{ kg}$ sầu riêng trong $1$ mùa vụ. Hợp tác xã chia thành nhiều chuyến, mỗi chuyến chở $x\text{ kg}$ ($1\le x\le 3600,x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), và giả sử $x$ là ước của $3600$ để chia đều số chuyến. Chi phí cho mỗi chuyến gồm: Phí xe cố định: $50$ nghìn đồng/chuyến; Phí bảo quản lạnh tỉ lệ theo tải: $0,005x^2$ (nghìn đồng/chuyến). Hỏi mỗi chuyến nên chở bao nhiêu kg để tổng chi phí là nhỏ nhất?

Câu 5. Số lượt tải xuống (đơn vị: nghìn lượt) của một ứng dụng trò chơi mới ra mắt được mô hình hóa bởi hàm số $N(t)=\frac{a{t}^2+bt}{t^2+ct+d}$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng ngày kể từ lúc phát hành). Biết rằng tại thời điểm khảo sát hết ngày đầu tiên, ứng dụng đạt tổng cộng $17,5$ nghìn lượt tải. Đến hết ngày thứ $2$, tổng số lượt tải tích lũy đạt $30$ nghìn lượt tải. Khi chiến dịch quảng cáo kéo dài ra vô hạn, tổng số lượt tải của ứng dụng sẽ tiến dần về mức tối đa bão hòa thị trường là $100$ nghìn lượt. Tốc độ tăng trưởng lượt tải tại thời điểm khởi đầu được ghi nhận $20$ nghìn lượt/ngày. Kể từ ngày thứ $3$ trở đi, chi phí để duy trì chiến dịch quảng cáo này là $10$ triệu đồng/ngày cho tiền chạy quảng cáo. Biết rằng mỗi một nghìn lượt tải tăng thêm sẽ đem lại doanh thu cố định là $4$ triệu đồng. Để tối ưu hóa lợi nhuận, nhà phát hành nên dừng chạy chiến dịch quảng cáo này ngay sau khi kết thúc ngày thứ bao nhiêu?

Câu 1. Một doanh nghiệp dự kiến sản xuất không quá $2000$ sản phẩm cùng loại. Giả sử rằng doanh thu của doanh nghiệp khi sản xuất $x$ sản phẩm ($x\in \mathbb{N};0\le x\le 2000$) là $R(x)=16x-0,005x^2$ (triệu đồng) và doanh nghiệp phải nộp một khoản thuế là $5\%$ của doanh thu $R(x)$. Chi phí để sản xuất mỗi sản phẩm là bốn triệu đồng. Lợi nhuận của doanh nghiệp (khi sản xuất $x$ sản phẩm) được tính theo công thức: Lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi thuế và chi phí. Doanh nghiệp phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Câu 5. Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao 2,2 m song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng 1,6 m. Người ta dựng một cái thang thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia chạm vào bức tường ngôi nhà, thân của thang chạm vào mép trên hàng rào (tham khảo hình vẽ). Chiều dài ngắn nhất của cái thang là bao nhiêu? (đơn vị là mét, không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Khi dạo chơi trong một công viên bạn An di chuyển trên cầu cong có hình Parabol, bạn Lan di chuyển trên bờ hồ đường tròn (minh họa bằng hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa 2 chân cầu Parabol là $AB=30\text{ m}$; đỉnh $H$ của Parabol cách đường $AB$ một khoảng $HK=30\text{ m}$, khoảng cách từ tâm $I$ của đường tròn đến đường thẳng $AB$ là $IE=30\text{ m}$ và $IH=30\text{ m}$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai bạn An và Lan, biết rằng đường tròn có bán kính bằng $3\text{ m}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x\le 2500$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $f(x)=2026x-x^2$ và tổng chi phí là $g(x)=x^2+1438x-1209$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (nghìn đồng) ($0<t<320$). Giá trị của $t$ bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?