Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $5^{x+4y}+\frac{3^{-x-4y}}{3}+xy+x+1=\frac{5^{xy}}{5}+3^{-xy}+3-x-4y+y(x-4)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$.

Bài 3 (7,0 điểm). Ký hiệu $\{a\}$ là phần lẻ của số thực $a$.
a) Tìm số thực $c>0$ nhỏ nhất sao cho $\{x\}+\{y\}<c+xy$ với mọi số thực $x,y>0$.
b) Xét các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng
$$\{x\}+\{y\}+\{z\}<\frac{5}{2}.$$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{7}{a^2+b^2+c^2}+\frac{121}{14(ab+bc+ca)}$

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $\left(x^2+y^2+5\right)+{\log }_2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)={\left(\frac{xy}{2}-2\right)}^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+9y$.

Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+x+y+z=\frac{4}{3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$.

Trong khuôn viên trường THPT Số 1 Lê Hồng Phong, có một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $20m^2$, nhà trường phân công cho lớp 12 B lấy một phần đất để trồng hoa. Biết phần đất trồng hoa này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là $A$ và $H$, với $H$ thuộc cạnh $BD$ (như hình bên). Hỏi số tiền lớn nhất mà lớp 12 B cần chuẩn bị để trồng hoa (miền tô đậm) là bao nhiêu với chi phí trồng hoa là 50 nghìn đồng$/m^2$ ?

Để treo một chiếc đèn trang trí $D$ trong phòng khách, người chủ nhà có ý tưởng thiết kế một hệ thống dây thép mạ vàng để treo. Hệ thống gồm: 4 đoạn dây bằng nhau treo ở các điểm $A,B,C,D$ trên trần nhà và một đoạn dây $IM$ thẳng đứng đi qua tâm của hình chữ nhật $ABCD$.

Biết rằng điểm $M$ (gắn với chiếc đèn) cách trần nhà 60 cm và biết các kích thước $AB=60\text{ cm},BC=80\text{ cm}$. Hãy xác định tổng chiều dài ngắn nhất của dây thép mạ vàng mà người chủ nhà đã dùng theo đơn vị centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).