Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+x+y+z=\frac{4}{3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2+y^2+z^2+x+y+z=\frac{4}{3}$.

Dùng phương pháp tiếp tuyến: tìm $\alpha ,\beta$ sao cho với mọi số thực $t$ ta có $\frac{t}{t^2+1}\le \alpha (t^2+t)+\beta$.

Nghiệm đối xứng dự đoán: $3t^2+3t=\frac{4}{3}$ suy ra $t=\frac{1}{3}$. Với $f(t)=\frac{t}{t^2+1}$, ta có $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{10}$ và $f^{\prime }(t)=\frac{1-t^2}{(t^2+1{)}^2}$, suy ra $f^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1-1/9}{(10/9{)}^2}=\frac{18}{25}$.

Điều kiện tiếp xúc: $\alpha \left(2\cdot \frac{1}{3}+1\right)=\frac{5\alpha }{3}=\frac{18}{25}$ suy ra $\alpha =\frac{54}{125}$; và $\beta =\frac{3}{10}-\frac{54}{125}\cdot \frac{4}{9}=\frac{3}{10}-\frac{24}{125}=\frac{27}{250}$.

Kiểm tra bất đẳng thức: cần chứng minh $\frac{54}{125}(t^2+t)+\frac{27}{250}-\frac{t}{t^2+1}\ge 0$ với mọi $t$. Nhân với $250(t^2+1)>0$:
$$108(t^2+t)(t^2+1)+27(t^2+1)-250t=108t^4+108t^3+135t^2-142t+27=(3t-1{)}^2(12t^2+20t+27)\ge 0$$
vì $12t^2+20t+27>0$ (biệt thức $400-4\cdot 12\cdot 27=-896<0$). Vậy bất đẳng thức đúng với mọi $t$.

Áp dụng cho $x,y,z$:
$$P\le \frac{54}{125}\left(x^2+y^2+z^2+x+y+z\right)+3\cdot \frac{27}{250}=\frac{54}{125}\cdot \frac{4}{3}+\frac{81}{250}=\frac{144}{250}+\frac{81}{250}=\frac{9}{10}$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn ràng buộc vì $3\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}$), khi đó $P=3\cdot \frac{1/3}{1/9+1}=\frac{9}{10}$.

Vậy $\max P=\frac{9}{10}$, đạt tại $x=y=z=\frac{1}{3}$. Các phép tính đã được kiểm tra lại: khai triển $(3t-1{)}^2(12t^2+20t+27)$ đúng bằng $108t^4+108t^3+135t^2-142t+27$, và các phân số đều khớp.