Đề Thi Học Sinh Giỏi THPT Toán 2025-2026 Cà Mau

a) Giải phương trình: $x^2+x+\sqrt{3x+10}=10$.
b) Giải bất phương trình: ${\log }_9{x}^2+{\log }_{3}x+5\le {\log }_{3}5x+9$.

Cho một hình vuông có cạnh bằng 5. Trên mỗi cạnh của hình vuông, xác định 4 điểm sao cho chúng chia cạnh đó thành 5 đoạn thẳng bằng nhau. Gọi $S$ là tập hợp gồm 16 điểm vừa xác định và 4 đỉnh của hình vuông.
a) Có bao nhiêu cách chọn 2 điểm trong $S$ sao cho khoảng cách giữa chúng đúng bằng 5?
b) Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 điểm trong $S$, tính xác suất để 2 điểm được chọn có khoảng cách không lớn hơn 5.

Xét dãy các hình phẳng $K_n,n\ge 0$ được xác định như sau: $K_0$ là một lục giác đều có độ dài cạnh bằng 1. Với mỗi số tự nhiên $n$, hình $K_{n+1}$ được tạo thành từ hình $K_n$ bằng cách như sau: Chia mỗi cạnh của $K_n$ thành 3 đoạn thẳng bằng nhau; trên đoạn thẳng ở chính giữa, dựng một tam giác đều nằm về phía trong của $K_n$, sau đó thay thế đoạn thẳng này bởi đường gấp khúc gồm hai cạnh còn lại của tam giác đều vừa dựng. Dưới đây là hình minh họa cho $K_0,K_1,K_2$ và $K_3$.



Kí hiệu $s_n$ là diện tích của hình $K_n$, tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_n$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác vuông cân tại $A^{\prime }$, hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ trùng với trung điểm $M$ của cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết $A^{\prime }{B}^{\prime }=1,AM=2$.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$.
b) Gọi $N$ là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }N$.

a) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy các điểm $A,B$ tùy ý lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy$ ($A,B\ne O$). Gọi $M,N$ là các điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho chúng chia đoạn thẳng $AB$ thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. Chứng minh rằng $\tan MON\le \frac{3}{4}$.
b) Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn $ABC$ và một điểm $M$ di động trên cạnh $BC$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua trung điểm của $BC$. Đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $D$, đường thẳng qua $N$ và vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$. Giả sử $ME$ cắt $ND$ tại $P$ và $AP$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $Q$ là một điểm cố định (khi $M$ di động trên $BC$).

Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+x+y+z=\frac{4}{3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$.