a) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy các điểm $A,B$ tùy ý lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy$ ($A,B\ne O$). Gọi $M,N$ là các điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho chúng chia đoạn thẳng $AB$ thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. Chứng minh rằng $\tan MON\le \frac{3}{4}$.
b) Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn $ABC$ và một điểm $M$ di động trên cạnh $BC$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua trung điểm của $BC$. Đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $D$, đường thẳng qua $N$ và vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$. Giả sử $ME$ cắt $ND$ tại $P$ và $AP$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $Q$ là một điểm cố định (khi $M$ di động trên $BC$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5. a) Chọn hệ trục sao cho A=(a,0), B=(0,b) với a,b>0. Vì M,N chia AB thành 3 phần bằng nhau nên M=(2a/3, b/3), N=(a/3, 2b/3). Ta có $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\frac{2a^2+2b^2}{9}$ và $|\overrightarrow{OM}\times \overrightarrow{ON}|=\frac{4ab-ab}{9}=\frac{3ab}{9}$, suy ra $\tan MON=\frac{3ab}{2(a^2+b^2)}\le \frac{3ab}{2\cdot 2ab}=\frac{3}{4}$ (AM–GM), dấu bằng khi a=b. b) Chọn hệ trục: B=(0,0), C=(c,0), A=(u,v) với v>0 (tam giác nhọn nên 0<u<c). Đặt M=(t,0) (0≤t≤c) thì N=(c−t,0). Đường thẳng qua M vuông góc BC là x=t; giao với AB cho D=(t, vt/u). Đường thẳng x=c−t giao với AC tại E=(c−t, vt/(c−u)). Giao điểm P của ME và ND: viết P=M+s(E−M)=N+r(D−N), phương trình hoành cho s+r=1, phương trình tung cho s·u=r(c−u), giải ra s=(c−u)/c, r=u/c, do đó P=(c−t−u+2ut/c, vt/c). Đường thẳng AP: A+λ(P−A) với P−A=(c−t−2u+2ut/c, −v(c−t)/c). Tại giao điểm Q với BC (y=0): λ=c/(c−t), khi đó $x_Q=u+\frac{c(c-t)-2uc+2ut}{c-t}=u+\frac{(c-t)(c-2u)}{c-t}=u+c-2u=c-u$. Vậy Q=(c−u,0) không phụ thuộc t, tức Q là điểm đối xứng của chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC qua trung điểm của BC — một điểm cố định. Đpcm.