Cho một hình vuông có cạnh bằng 5. Trên mỗi cạnh của hình vuông, xác định 4 điểm sao cho chúng chia cạnh đó thành 5 đoạn thẳng bằng nhau. Gọi $S$ là tập hợp gồm 16 điểm vừa xác định và 4 đỉnh của hình vuông.
a) Có bao nhiêu cách chọn 2 điểm trong $S$ sao cho khoảng cách giữa chúng đúng bằng 5?
b) Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 điểm trong $S$, tính xác suất để 2 điểm được chọn có khoảng cách không lớn hơn 5.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông cạnh 5, chia mỗi cạnh thành 5 đoạn bằng nhau. $S$ gồm 16 điểm chia cạnh và 4 đỉnh, tức là đúng 20 điểm nằm trên biên hình vuông (không có điểm nào bên trong — các điểm như $(3,4)$, $(4,3)$ không thuộc $S$). Gọi các đỉnh là $(0,0),(5,0),(5,5),(0,5)$; các điểm của $S$ là các điểm có toạ độ nguyên trên biên hình vuông $[0,5{]}^2$.

a) Đếm các cặp điểm có khoảng cách đúng bằng 5, tức $\Delta x^2+\Delta y^2=25$:
- Cùng một cạnh: mỗi cạnh có 6 điểm, duy nhất một cặp cách đúng 5 (hai đầu cạnh): $4$ cặp.
- Hai điểm trên hai cạnh kề nhau (không tính cặp cùng thuộc một cạnh): với $a,b\in \{1,2,3,4\}$, cần $a^2+b^2=25$, chỉ có $(a,b)=(3,4)$ và $(4,3)$. Mỗi đỉnh cho $2$ cặp, có $4$ đỉnh: $8$ cặp. (Chú ý các cặp kiểu $(3,0)-(0,4)$ chính là trường hợp này; còn $(0,0)-(3,4)$, $(0,0)-(4,3)$ không được tính vì $(3,4),(4,3)$ là điểm trong, không thuộc $S$.)
- Hai điểm trên hai cạnh đối diện: khoảng cách $\sqrt{(a-b{)}^2+25}=5$ khi $a=b$, với $a=b\in \{1,2,3,4\}$ (trường hợp $a=b=0$ hoặc $a=b=5$ là các cặp đỉnh đã tính ở cùng cạnh): mỗi cặp cạnh đối diện cho $4$ cặp, có $2$ cặp cạnh đối diện: $8$ cặp.
Vậy tổng số cách chọn là $4+8+8=20$ cách.

b) Tổng số cách chọn 2 điểm: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$. Đếm số cặp có khoảng cách lớn hơn 5:
- Hai đỉnh đối nhau $(0,0)-(5,5)$, $(0,5)-(5,0)$: khoảng cách $5\sqrt{2}>5$: $2$ cặp.
- Cặp đỉnh – điểm chia không thuộc hai cạnh chứa đỉnh đó: với mỗi đỉnh có $8$ điểm như vậy (4 điểm trên cạnh đối diện song song và 4 điểm trên cạnh đối diện kia), khoảng cách dạng $\sqrt{a^2+25}>5$: $4\cdot 8=32$ cặp.
- Hai điểm chia trên hai cạnh kề: $a^2+b^2>25$ với $a,b\in \{1,2,3,4\}$ chỉ xảy ra tại $(a,b)=(4,4)$: mỗi đỉnh có $1$ cặp, $4$ đỉnh: $4$ cặp.
- Hai điểm chia trên hai cạnh đối diện: khoảng cách $\sqrt{(a-b{)}^2+25}>5$ luôn đúng với mọi $a,b\in \{1,2,3,4\}$: $16\cdot 2=32$ cặp.
Tổng số cặp có khoảng cách $>5$: $2+32+4+32=70$.
Số cặp có khoảng cách không lớn hơn 5: $190-70=120$.
Xác suất $P=\frac{120}{190}=\frac{12}{19}\approx 0,63$.