Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-mx-m+5}$ không có đường tiệm cận đứng?

Tử số $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Đặt mẫu số $g(x)=x^2-mx-m+5$.
Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi:
- Trường hợp 1: Mẫu số vô nghiệm $⟺\Delta =m^2-4(-m+5)=m^2+4m-20<0⟺-2-2\sqrt{6}<m<-2+2\sqrt{6}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$ (9 giá trị).
- Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm kép và nghiệm kép đó là nghiệm của tử số (nghiệm kép $x=1$ hoặc $x=2$). Nghiệm kép xảy ra khi $\Delta =0⟹m=-2\pm 2\sqrt{6}\notin \mathbb{Z}$.
- Trường hợp 3: Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt và cả hai nghiệm đều là nghiệm của tử số, tức là 2 nghiệm đó chính là $x=1$ và $x=2$. Khi đó theo định lí Viète: $1+2=m⟹m=3$ và $1\cdot 2=-m+5⟺2=-3+5=2$ (thỏa mãn!).
Khi $m=3$, mẫu số là $x^2-3x+2$, hàm số trở thành $y=1$ với $x\ne 1,x\ne 2$, không có tiệm cận đứng.
Kết hợp lại, các giá trị nguyên của $m$ là $\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$. Có tất cả $9+1=10$ giá trị nguyên. Chọn A.