Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình $x+\sqrt{4-x^2}=\frac{m}{2}$ có nghiệm. Tập $S$ có tất cả bao nhiêu phần tử?

Điều kiện: $4-x^2\ge 0⟺-2\le x\le 2$. Xét hàm số $f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$ trên $[-2;2]$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=0⟺\sqrt{4-x^2}=x⟺\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 4-x^2=x^2\end{array}⟺x=\sqrt{2}$.
Ta có $f(-2)=-2,f(2)=2,f(\sqrt{2})=2\sqrt{2}$.
Suy ra tập giá trị của $f(x)$ là $[-2;2\sqrt{2}]$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-2\le \frac{m}{2}\le 2\sqrt{2}⟺-4\le m\le 4\sqrt{2}\approx 5,65$.
Các giá trị nguyên âm của $m$ là $m\in \{-4,-3,-2,-1\}$. Vậy tập $S$ có 4 phần tử. Chọn C.