Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^2(x+1)(x^2+2mx+5)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số $f(x)$ có đúng một điểm cực trị, tìm số phần tử của $S$?

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Ta có $x^2\ge 0,\forall x$, do đó $x=0$ là nghiệm bội chẵn và không làm đổi dấu của $f^{\prime }(x)$.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm là $x=-1$ và nghiệm của tam thức $g(x)=x^2+2mx+5$.
Để hàm số $f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị thì đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua đúng một nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
- Trường hợp 1: $g(x)=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép:
$${\Delta }^{\prime }=m^2-5\le 0⟺-\sqrt{5}\le m\le \sqrt{5}.$$
Vì $m\in \mathbb{Z}⟹m\in \{-2,-1,0,1,2\}$.
Khi đó $x=-1$ là nghiệm đơn duy nhất làm đổi dấu $f^{\prime }(x)$, thỏa mãn.
- Trường hợp 2: $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng $-1$:
$$g(-1)=0⟺(-1{)}^2+2m(-1)+5=0⟺6-2m=0⟺m=3.$$
Với $m=3$, $g(x)=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$.
Khi đó $f^{\prime }(x)=x^2(x+1{)}^2(x+5)$, đạo hàm chỉ đổi dấu qua nghiệm đơn $x=-5$, thỏa mãn.
Kết hợp hai trường hợp: $m\in \{-2,-1,0,1,2,3\}$.
Vậy tập $S$ có tất cả 6 phần tử.