Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để bất phương trình ${\log }_2^{2}x-(2m+5){\log }_{2}x+m^2+5m+4<0$ nghiệm đúng với mọi $x\in [2;4)$?

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Đặt $t={\log }_{2}x$. Với $x\in [2;4)$ thì $t\in [1;2)$.
Bất phương trình trở thành:
$$t^2-(2m+5)t+m^2+5m+4<0.$$
Ta phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:
$$t^2-(2m+5)t+(m+1)(m+4)<0⟺(t-m-1)(t-m-4)<0.$$
Vì $m+1<m+4$, nghiệm của bất phương trình là:
$$m+1<t<m+4.$$
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $t\in [1;2)$ thì $[1;2)\subset (m+1;m+4)$, tức là:
$$\{<table><tbody><tr><td>m+1\le 1</td></tr><tr><td>m+4\ge 2</td></tr></tbody></table>⟺\{<table><tbody><tr><td>m\le 0</td></tr><tr><td>m\ge -2</td></tr></tbody></table>⟺-2\le m\le 0.$$
Tuy nhiên tại $t=1$, ta cần $m+1<1⟺m<0$.
Kiểm tra:
- Với $m=0$: khoảng nghiệm $(1;4)$, không chứa $t=1$, loại.
- Với $m=-1$: khoảng nghiệm $(0;3)$, chứa $[1;2)$, nhận.
- Với $m=-2$: khoảng nghiệm $(-1;2)$, chứa $[1;2)$, nhận.
Vậy $m\in \{-2,-1\}$. Có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.