Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $m$ để hàm số $y=x+5+\frac{1-m}{x-2}$ đồng biến trên $[5;+\infty )$?

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Hàm số xác định trên $[5;+\infty )$.
Đạo hàm của hàm số:
$$y^{\prime }=1-\frac{1-m}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-2{)}^2-(1-m)}{(x-2{)}^2}.$$
Hàm số đồng biến trên $[5;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$$y^{\prime }\ge 0,\forall x\in [5;+\infty )⟺(x-2{)}^2\ge 1-m,\forall x\in [5;+\infty ).$$
Với mọi $x\ge 5$, ta có $x-2\ge 3⟹(x-2{)}^2\ge 9$.
Do đó:
$$1-m\le 9⟺m\ge -8.$$
Vì $m$ là số nguyên âm nên $m\in \{-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1\}$.
Vậy có tất cả 8 giá trị nguyên âm của $m$ thỏa mãn.