Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ luôn có ít hơn 4041 số nguyên $x$ thỏa mãn $({\log }_{3}x-m)({\log }_3(x+4)-1)<0$?

Chọn C.
Điều kiện $x>0$. Ta có ${\log }_3(x+4)-1=0\iff x+4=3\iff x=-1$ (loại vì $x>0$). Với $x>0$, ${\log }_3(x+4)>{\log }_{3}4>1$ nên ${\log }_3(x+4)-1>0,\forall x>0$.
BPT $\iff {\log }_{3}x-m<0\iff 0<x<3^m$.
Số nghiệm nguyên dương là $3^m-1$.
Theo đề bài: $3^m-1<4041\iff 3^m<4042$.
Vì $3^7=2187<4042$ và $3^8=6561>4042$, nên $m\in \{1,2,3,4,5,6,7\}$.
Có 7 giá trị nguyên dương của $m$.