Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, tâm của đáy là $O$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm các cạnh $SA,SC$. Gọi $E$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(BMN)$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.BMEN$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $AM=2M{A}^{\prime },N{B}^{\prime }=2NB,PC=P{C}^{\prime }$. Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của hai khối đa diện $ABCMNP$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }MNP$. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $6$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là các điểm nằm trên cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ sao cho $M$ là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$; $B^{\prime }N=\frac{3}{4}{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BP=\frac{1}{4}BC$. Đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $B{B}^{\prime }$ tại $E$ và đường thẳng $EM$ cắt đường thẳng $AB$ tại $Q$. Thể tích khối đa diện lồi $AQPC{A}^{\prime }MNC$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $MN$ và cắt các cạnh $SB,SC$ lần lượt tại $Q,P$. Đặt $\frac{SQ}{SB}=x$, và $V_1$ là thể tích của khối chóp $S.MNPQ$, $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$. Tìm $x$ để $V_1=\frac{1}{2}V$.

Cho lăng trụ ABC. A'B'C ' có thể tích bằng 2. Gọi M , N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh
2
AA' và BB' sao cho M là trung điểm của AA' và B'N = BB' . Đường thẳng CM cắt đường
3
thẳng A'C ' tại P và đường thẳng CN cắt đường thẳng B'C ' tại Q . Biết thể tích khối đa diện
a
lồi A'MPB'NQ bằng (với a, b $\in$ $\infty$; a, b nguyên tố cùng nhau). Tính a + 2b .
b

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $MN$ và cắt các tia $SB,SC$ lần lượt tại $P,Q$. Đặt $\frac{SP}{SB}=x$, $V_1$ là thể tích khối chóp $S.MNQP$ và $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$. Tìm $x$ để $V=2V_1$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích là $V$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $AM$ và cắt hai cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Gọi $V^{\prime }$ là thể tích của khối chóp $S.APMQ$; $\frac{SP}{SB}=x$; $\frac{SQ}{SD}=y$ ($0<x,y<1$). Khi tỉ số $\frac{V^{\prime }}{V}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị của tổng $x+3y$.