Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là $R_1,R_2,R_3$ đôi một tiếp xúc ngoài nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$. Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng $(P)$ lập thành một tam giác có độ dài các cạnh lần lượt là $2;3;4$. Tính tổng $R_1+R_2+R_3$:

Gọi tâm ba hình cầu là $I_1,I_2,I_3$ và tiếp điểm với $(P)$ lần lượt là $A_1,A_2,A_3$.
Khoảng cách giữa hai tiếp điểm của hai mặt cầu bán kính $R_i,R_j$ tiếp xúc ngoài nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là:
$A_i{A}_j=2\sqrt{R_i{R}_j}$.
Theo giả thiết độ dài các cạnh tam giác tiếp điểm là $2;3;4$:
$\{\begin{array}{l}2\sqrt{R_1{R}_2}=2\\ 2\sqrt{R_1{R}_3}=3\\ 2\sqrt{R_2{R}_3}=4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{R}_1{R}_2=1\\ R_1{R}_3=\frac{9}{4}\\ R_2{R}_3=4\end{array}$.
Nhân ba phương trình lại với nhau:
$(R_1{R}_2{R}_3{)}^2=1\cdot \frac{9}{4}\cdot 4=9⟹R_1{R}_2{R}_3=3$.
Từ đó ta suy ra:
$R_1=\frac{R_1{R}_2{R}_3}{R_2{R}_3}=\frac{3}{4}$,
$R_2=\frac{R_1{R}_2{R}_3}{R_1{R}_3}=\frac{3}{9/4}=\frac{4}{3}$,
$R_3=\frac{R_1{R}_2{R}_3}{R_1{R}_2}=\frac{3}{1}=3$.
Vậy tổng bán kính là:
$R_1+R_2+R_3=\frac{3}{4}+\frac{4}{3}+3=\frac{9+16+36}{12}=\frac{61}{12}$.