Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi $AB=a,\widehat{ABC}=60^{\circ }$. $SA\perp (ABCD)$ và $SC$ tạo với mặt phẳng $(SAB)$ một góc $45^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.

+) Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$.
Kẻ $CH\perp AB$ tại $H⟹H$ là trung điểm của $AB$.
Ta có $CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
+) Vì $SA\perp (ABCD)⟹SA\perp CH$.
Kết hợp $CH\perp AB⟹CH\perp (SAB)$.
Do đó $SH$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(SAB)$, suy ra góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{CSH}=45^{\circ }$.
+) Tam giác $SCH$ vuông tại $H$ có $\widehat{CSH}=45^{\circ }⟹SH=CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
+) Tam giác $SAH$ vuông tại $A$:
$SA=\sqrt{S{H}^2-A{H}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
+) Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{6}}{24}$.