Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $V$, hai điểm $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$; điểm $N$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $AD=3AN$. Tính thể tích tứ diện $BMNP$.

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,BD,AC$ sao cho $BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN$. Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện $ABCD$ được phân chia bởi mặt phẳng $(MNP)$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, tâm của đáy là $O$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm các cạnh $SA,SC$. Gọi $E$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(BMN)$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.BMEN$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $AM=2M{A}^{\prime },N{B}^{\prime }=2NB,PC=P{C}^{\prime }$. Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của hai khối đa diện $ABCMNP$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }MNP$. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $6$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là các điểm nằm trên cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ sao cho $M$ là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$; $B^{\prime }N=\frac{3}{4}{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BP=\frac{1}{4}BC$. Đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $B{B}^{\prime }$ tại $E$ và đường thẳng $EM$ cắt đường thẳng $AB$ tại $Q$. Thể tích khối đa diện lồi $AQPC{A}^{\prime }MNC$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $MN$ và cắt các cạnh $SB,SC$ lần lượt tại $Q,P$. Đặt $\frac{SQ}{SB}=x$, và $V_1$ là thể tích của khối chóp $S.MNPQ$, $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$. Tìm $x$ để $V_1=\frac{1}{2}V$.

Cho lăng trụ ABC. A'B'C ' có thể tích bằng 2. Gọi M , N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh
2
AA' và BB' sao cho M là trung điểm của AA' và B'N = BB' . Đường thẳng CM cắt đường
3
thẳng A'C ' tại P và đường thẳng CN cắt đường thẳng B'C ' tại Q . Biết thể tích khối đa diện
a
lồi A'MPB'NQ bằng (với a, b $\in$ $\infty$; a, b nguyên tố cùng nhau). Tính a + 2b .
b