Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$, có đúng bốn số nguyên dương $x$ thỏa mãn $\ln \frac{2^x+x}{xy}+2^x+x(1-y)\le 0$?

[IMAGE_1]

Bất phương trình tương đương $\ln (2^x+x)+(2^x+x)\le \ln (xy)+xy$.
Xét $f(t)=\ln t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $2^x+x\le xy\iff y\ge g(x)=\frac{2^x}{x}+1$.
Với $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$, ta có $g(1)=3$, $g(2)=3$, $g(3)=\frac{11}{3}$, $g(4)=5$, $g(5)=7,4$.
Để có đúng $4$ số nguyên dương $x$ (là $x\in \{1;2;3;4\}$) thỏa mãn $g(x)\le y$ với $y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ thì $5\le y<7,4\Rightarrow y\in \{5;6;7\}$. Vậy có $3$ giá trị nguyên dương của $y$.