Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+k$ với hệ số thực. Biết đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có điểm $O(0;0)$ là điểm cực trị, cắt trục hoành tại điểm $A(3;0)$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-5;5]$ để phương trình $f(-x^2+2x+m)=k$ có bốn nghiệm phân biệt?


Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có điểm cực trị tại $(0;0)$ và đi qua $(3;0)$, ta có $f^{\prime }(x)=p{x}^2(x-3)$ ($p>0$).
Do $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$ nên $f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\le 3$ và $f^{\prime }(x)>0,\forall x>3$.
Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$, do đó đạt cực tiểu duy nhất tại $x=3$.
Ta có $f(0)=k$. Vì hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên phương trình $f(u)=k$ có đúng hai nghiệm là $u_1=0$ và một nghiệm $u_2>3$.
Đặt $u(x)=-x^2+2x+m=-(x-1{)}^2+m+1\le m+1$.
Để phương trình $f(-x^2+2x+m)=k$ có bốn nghiệm phân biệt thì cả hai phương trình $u(x)=0$ và $u(x)=u_2$ đều phải có 2 nghiệm phân biệt, điều này tương đương với $m+1>u_2>3$.
Kết hợp các điều kiện trên đoạn $[-5;5]$, có đúng 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Chọn D.