Cho khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$, $N$ là một điểm trên đoạn $SC$ sao cho $NS=2NC$. Tính thể tích khối chóp $A.BCNM$?

Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích $V=3$. Thể tích khối chóp $A^{\prime }.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AB$ song song với $CD$, $CD=7AB$. Gọi $M$ trên cạnh $SA$ sao cho $\frac{SM}{SA}=k$ ($0<k<1$). Tìm giá trị của $k$ để mặt phẳng $(CDM)$ chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $V,V^{\prime }$ lần lượt là thể tích của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và thể tích của khối chóp $A^{\prime }.AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó,

Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $18$. Gọi $A_1$ là trọng tâm tam giác $BCD$; $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ sao cho góc giữa $(P)$ và $(BCD)$ bằng $60^{\circ }$. Các đường thẳng qua $B,C,D$ song song với $A{A}_1$ cắt mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại $B_1,C_1,D_1$. Thể tích khối tứ diện $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân có đường chéo $BD$ vuông góc với cạnh bên $BC$, $BD$ là tia phân giác trong của góc $\widehat{ADC}$, $BC=3$, $SA\perp (ABCD)$. Gọi $N$ là một điểm trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A,N$ và song song với $BD$. Biết rằng, nếu mặt phẳng $(\alpha )$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau thì $\frac{NS}{NC}=\frac{2+a\sqrt{7}}{b}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Tính $2a+3b$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $C$ qua $B$ và $N$ là trung điểm của $SC$. Mặt phẳng $(MND)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $S$ có thể tích $V_1$, khối đa diện còn lại có thể tích $V_2$ (tham khảo hình vẽ bên):

Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.