Tìm tập xác định của hàm số $y=2^{\sqrt{x}}+\log (3-x)$.

Thể tích $V$ của khối lăng trụ có diện tích đáy là $S$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là $h$ được tính bởi công thức nào sau đây?

Cho $x,y>0$ và $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Đẳng thức nào dưới đây **sai**?

Giá trị của $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\sin x+1)dx$ bằng

Cho $a$ là số thực dương tùy ý. Khi đó, ${\log }_2\left(a^3\right)$ bằng

Khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $3\text{ cm}$ và khoảng cách từ đỉnh tới đáy bằng $5\text{ cm}$ có thể tích bằng

Trong không gian, cho đoạn thẳng $AB$. Tập hợp các điểm $M$ sao cho góc $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ cùng với $A,B$ tạo thành một

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ ($a,b,c\in \mathbb{R}$) có đồ thị như hình vẽ.
[IMAGE_1]
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=2$, ${\int }_2^{3}f(x)dx=-5$. Giá trị của $I={\int }_1^{3}f(x)dx$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}(1;2;4),\vec{v}(4;2;-2)$. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:
[IMAGE_1]
Số nghiệm của phương trình $f(x)-2=0$ là

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2$?

Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $-2x-y+7z-1=0$?

Cho ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$. Khi đó ${\int }_0^2[x-2f(x)]dx$ bằng

Cho hình nón có bán kính đáy bằng chiều cao. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón biết thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho bằng $9\pi a^3$.

Cho tích phân $I={\int }_1^e\left(x+\frac{1}{x}\right)\ln xdx=a{e}^2+b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Giá trị của $3b-a$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;2;-3),B(2;3;-1),C(1;1;-2)$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;2;-4)$ cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ có một vectơ pháp tuyến là

Cho tứ diện $ABCD$, trên các cạnh $BC,BD,AC$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $BC=3BM,BD=\frac{3}{2}BN,AC=2AP$. Mặt phẳng $(MNP)$ chia tứ diện $ABCD$ thành hai phần có thể tích là $V_1,V_2$. Tính $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ có đồ thị như hình vẽ bên và $c\in [a;b]$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và các đường thẳng $y=0,x=a,x=b$. Mệnh đề nào sau đây **sai**?
[IMAGE_1]

Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau và khác $0$ mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
[IMAGE_1]
Xét các mệnh đề sau:
(I) $f(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị.
(II) $f(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$.
(III) $f(x)$ nghịch biến trên $(-1;1)$.
(IV) $f(x)$ đạt cực trị tại $x=0;x=\pm 1$.
Số mệnh đề **đúng** trong bốn mệnh đề trên là

Cho hàm số $y=\frac{3^x}{\ln 3}-9x+17$. Mệnh đề nào sau đây **sai**?

Hàm số $f(x)={\int }_1^{x^2}(3+2u)du$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;1),B(-3;2;4),C(0;4;5),D(m;0;2m)$. Tìm giá trị dương của $m$ để khối tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $\frac{17}{2}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;0;-1),B(-2;4;3),C(5;6;-1)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $P=M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a+b+c$ bằng

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $3^{x^2-4}={\left(\frac{1}{9}\right)}^{3x-1}$. Tính $x_1{x}_2$.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x+m}{x-m}$ không có tiệm cận đứng.

Cho một hình trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $R=2h$. Biết diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng diện tích của một mặt cầu có bán kính $a$. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a,A{A}^{\prime }=2a$. Khoảng cách giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{mx+1}{x+m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x+2$ trên đoạn $[-3;3]$ bằng

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau chọn từ tập hợp $\{0;1;2;3;4;5;6\}$. Chọn ngẫu nhiên $2$ số từ tập $S$. Tính xác suất để tích hai số chọn được là một số chẵn.

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
[IMAGE_1]
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2{\cos }^{3}x-\frac{9}{2}{\cos }^{2}x+3\cos x+\frac{1}{2}$ là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).
[IMAGE_1]
Góc giữa đường thẳng $BC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng

Bất phương trình $3^{2x+1}-7\cdot 3^x+2>0$ có tập nghiệm là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;1;2)$, mặt phẳng $(\alpha ):x-y+z+1=0$ và mặt cầu $(S):x^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=16$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $A$, vuông góc với $(\alpha )$ và đồng thời $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tìm tọa độ giao điểm $B$ của $(P)$ với trục tung.

Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình ${\log }_2\left(\frac{1}{2x}+x\right)+2^{\frac{1}{2x}+x}=5$.

Cho hai đường tròn $(O_1;5)$ và $(O_2;3)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ là một đường kính của đường tròn $(O_2;3)$. Gọi $(D)$ là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô dấu chấm như hình vẽ). Quay $(D)$ quanh trục $O_1{O}_2$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành.
[IMAGE_1]

Cho hàm số $f(x)={\log }_2\left(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}\right)$. Tính $T=f\left(\frac{1}{2025}\right)+f\left(\frac{2}{2025}\right)+\cdots +f\left(\frac{2024}{2025}\right)$.

Từ một mảnh bìa hình chữ nhật $ABCD$ có đường chéo $AC=1$, ta lấy $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AD=4AN$. Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh $AB$ trùng với cạnh $CD$ tạo thành một hình trụ. Tìm độ dài cạnh $BC$ của tấm bìa sao cho thể tích của tứ diện $ABMN$ đạt giá trị lớn nhất (với các đỉnh $A,B,M,N$ nằm trên hình trụ vừa tạo thành).

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ lần lượt bằng $\sqrt{3}$ và $2$, góc giữa hai mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là trung điểm $M$ của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }M=\sqrt{13}$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R};c\ne 0,d\ne 0$) có đồ thị $(C)$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ dưới đây.
[IMAGE_1]
Biết $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại giao điểm của $(C)$ với trục hoành có phương trình là

Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f(x)$, biết hàm số có ba điểm cực trị $x=-3,x=3,x=5$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $g(x)=f\left(e^{x^3+3x^2}-m\right)$ có đúng $7$ điểm cực trị?