Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;1;2)$, mặt phẳng $(\alpha ):x-y+z+1=0$ và mặt cầu $(S):x^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=16$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $A$, vuông góc với $(\alpha )$ và đồng thời $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tìm tọa độ giao điểm $B$ của $(P)$ với trục tung.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y-2z+3=0$ và mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$. Biết mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là $2\pi$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình là

Cho các số thực $a,b,c,d,e,f$ thỏa mãn $\{\begin{array}{rl}& a^2+b^2+c^2-2a+4b+2c-6=0\\ & 2d-e+2f-14=0\end{array}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(a-d{)}^2+(b-e{)}^2+(c-f{)}^2$ bằng

Câu 3. Trong một dự án khảo sát địa chất thăm dò tài nguyên, các nhà khoa học phát hiện một túi khí tự nhiên trong lòng đất được xác định có dạng hình cầu $(S)$, một lớp đá móng ngăn cách các địa tầng $(P)$. Với hệ trục $Oxyz$ phù hợp, đơn vị trên mỗi trục là chục mét. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z+7{)}^2=16$. Lớp đá móng là mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z-15=0$. Để thực hiện việc khai thác, các nhà khoa học đặt mũi khoan được định hướng bắt đầu từ vị trí $A(1;2;1)$ và tiến tới liên tục theo phương của vectơ $\vec{u}=(1;1;-8)$. Ngoài ra, một trạm quan trắc địa chấn được đặt cố định tại vị trí $K(2;3;5)$ để theo dõi các biến động cơ học trong quá trình khoan.

Câu 6. Tại lễ Tri ân và trưởng thành của học sinh khối 12 của một trường THPT. Kết thúc buổi lễ, một học sinh khối 12 đại diện cho các bạn thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị ứng với $1\text{ m}$, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình là $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-10{)}^2=2$. Cùng thời điểm đó có ba chiếc flycam $A,B,C$ cách nhau $3\text{ m},4\text{ m},5\text{ m}$ và tạo thành một tam giác $ABC$ có ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-y+2z-17=0$ và có phương trình dạng $2x+ay+bz+c=0$. Tổng giá trị của $T=a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Số điểm chung giữa mặt cầu và mặt phẳng không thể là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một đài kiểm soát không lưu được đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$ có bán kính quét tối đa của ra đa là $300\text{ km}$. Khi một máy bay bay vào vùng phủ sóng của ra đa thì tín hiệu của nó sẽ được thu nhận và vị trí của máy bay sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay dân dụng sau khi cất cánh và đạt được độ cao phù hợp thì tổ bay bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động cho máy bay theo hướng từ điểm $A(100;-200;10)$ đến điểm $B(300;200;10)$ với vận tốc không đổi là $600\text{ km/h}$.