Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f(x)$, biết hàm số có ba điểm cực trị $x=-3,x=3,x=5$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $g(x)=f\left(e^{x^3+3x^2}-m\right)$ có đúng $7$ điểm cực trị?

Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2+6x)e^{x^3+3x^2}{f}^{\prime }\left(e^{x^3+3x^2}-m\right)$. Phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm đơn $x=0,x=-2$ từ $3x^2+6x=0$, và các phương trình $e^{x^3+3x^2}=m-3,e^{x^3+3x^2}=m+3,e^{x^3+3x^2}=m+5$. Xét hàm $h(x)=e^{x^3+3x^2}$ có $h(-2)=e^4,h(0)=1$ và $h(x)>0$. Để $g(x)$ có đúng $7$ điểm cực trị thì trong ba đường thẳng $y=m-3,y=m+3,y=m+5$ phải có một đường cắt đồ thị $y=h(x)$ tại $3$ điểm phân biệt (tức thuộc $(1;e^4)$) và hai đường kia cắt tại $1$ điểm (tức lớn hơn $e^4$). Suy ra $\{\begin{array}{l}1<m-3<e^4\\ m+3\ge e^4\end{array}\iff e^4-3\le m<e^4+3$. Vì $e^4\approx 54,598$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{52;53;54;55;56;57\}$, có $6$ giá trị nguyên.