Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình ${\log }_2\left(\frac{1}{2x}+x\right)+2^{\frac{1}{2x}+x}=5$.

Điều kiện $x>0$. Đặt $t=\frac{1}{2x}+x>0$. Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+2^t$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ nên phương trình ${\log }_{2}t+2^t=5$ có nhiều nhất một nghiệm; dễ thấy $t=2$ là nghiệm duy nhất. Khi đó $\frac{1}{2x}+x=2\iff 2x^2-4x+1=0$ (có ${\Delta }^{\prime }=4-2=2>0$) có tích hai nghiệm thực là $\frac{1}{2}$.