Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một đài kiểm soát không lưu được đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$ có bán kính quét tối đa của ra đa là $300\text{ km}$. Khi một máy bay bay vào vùng phủ sóng của ra đa thì tín hiệu của nó sẽ được thu nhận và vị trí của máy bay sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay dân dụng sau khi cất cánh và đạt được độ cao phù hợp thì tổ bay bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động cho máy bay theo hướng từ điểm $A(100;-200;10)$ đến điểm $B(300;200;10)$ với vận tốc không đổi là $600\text{ km/h}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(2;1;12)$, trong đó một đơn vị độ dài trên mỗi trục tương ứng với $10$ mét trên thực tế. Trạm thu phát sóng đó có bán kính phủ sóng là $130$ mét. Vùng phủ sóng của trạm thu phát được quy ước là tập hợp tất cả các điểm $P$ trên mặt đất và trong không gian sao cho khoảng cách $IP$ không vượt quá $130$ mét. Mặt đất được coi là một phần của mặt phẳng $(Oxy)$ và mỗi người trên mặt đất được coi như một chất điểm.

Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3;1;0 ) , B ( -1;1; 4 ) , C ( 5;1; - 2 ) và mặt phẳng
( P ) : x + 2 y - 2 z + 7 = 0 . Giả sử d là đường thẳng bất kỳ thuộc mặt phẳng ( P ) luôn đi qua điểm
B . Gọi M là hình chiếu của C lên d . Giá trị lớn nhất của AM bằng

Trong không gian Ozyz , cho mặt cầu
A ( 0;1;0 ) , B ( 0;0;1) , C ( 3; -2; -1) . Tập hợp các điểm M trên mặt cầu thỏa mãn
 
MA2 - MB.MC = 0 là đường tr$\int$ n cố định có bán kính bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(0;1;1)$, $B(1;0;-3)$, $C(-1;-2;-3)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+2z-2=0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Một nghệ sĩ điêu khắc đang tạo ra một tác phẩm nghệ thuật bằng cách cắt các đĩa tròn từ một khối đá cẩm thạch lớn. Khối đá cẩm thạch này có hình dạng một khối cầu với phương trình: $x^2+y^2+z^2-2x-4z-7=0$. Để tạo ra các đường cắt chính xác, nghệ sĩ sử dụng một máy cắt phẳng được điều khiển bằng một hệ thống đường ray có phương trình $(d):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$. Mỗi lần điều chỉnh độ nghiêng của máy cắt sẽ tạo ra các đĩa tròn có bán kính $r$ khác nhau. Biết rằng bán kính của các đĩa thay đổi từ $r_2$ (nhỏ nhất) đến $r_1$ (lớn nhất). Hỏi tỉ lệ $\frac{r_1}{r_2}$ giữa bán kính lớn nhất và nhỏ nhất của các đĩa kim loại là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $2$, tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ và có tâm nằm trên tia $Ox$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là