Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=t^3-3t^2+8t+2$, trong đó $0\le t\le 15$, $t$ tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét.

Câu 1. Một chất điểm chuyển động biết quãng đường biểu diễn theo phương trình $S(t)=t^3-6t^2+30t$ (trong đó quãng đường $S$ tính bằng mét ($\text{m}$), thời gian $t$ tính bằng giây ($\text{s}$)). Tính vận tốc nhỏ nhất của chất điểm (đơn vị $\text{m/s}$).

Câu 6. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s=-t^3+6t^2+17t$, với $t\text{ (s)}$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s\text{ (m)}$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian $8$ giây đầu tiên, vận tốc $v\text{ (m/s)}$ của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu $\text{m/s}$?

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên. Tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y=t^3-12t+3,t\ge 0$. Tính vận tốc của hạt tại thời điểm $t=8$ giây theo đơn vị $\text{m/s}$.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $10\text{ m}$, điểm $Q$ chuyển động thẳng đều từ vị trí $B$ đến vị trí $C$ với tốc độ $1\text{ m/s}$ (thời điểm $t=0$ giây được tính khi $Q$ xuất phát từ $B$). Với mỗi vị trí của $Q$, luôn tồn tại hình vuông $DMNP$ với $M$ thuộc đoạn $AD$, $N$ thuộc $AQ$ và $P$ thuộc đoạn $CD$. Hỏi tại thời điểm $t=5$ giây thì diện tích hình vuông $DMNP$ giảm với tốc độ bao nhiêu ${\text{m}}^2/\text{s}$? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

[IMAGE:img_q20_square]

Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy $S=100{\text{ m}}^2$ đang chứa $1000{\text{ m}}^3$ hóa chất lỏng. Do sự cố, hóa chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy. Đồng thời, do nhiệt độ cao, hóa chất cũng bị bốc hơi khỏi bề mặt. Tốc độ rò rỉ tại thời điểm $t$ (giờ) kể từ lúc bắt đầu sự cố tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng $h(t)$ còn lại trong bồn: $v_r(t)=10\sqrt{h(t)}$ (${\text{m}}^3/$giờ). Tốc độ bốc hơi tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt tiếp xúc (là đáy trên của hình trụ) và thay đổi theo thời gian: $v_b(t)=\frac{200}{t+1}$ (${\text{m}}^3/$giờ). Gọi $V(t)$ là thể tích hóa chất còn lại trong bồn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết $V(0)=1000{\text{ m}}^3$.

Một nhóm nghiên cứu quan sát sự phát triển của một quần thể vi khuẩn trong môi trường nuôi cấy hạn chế.
- Giai đoạn 1 (từ $t=0$ đến $t=3$ giờ): Số lượng vi khuẩn tăng trưởng theo hàm mũ $N(t)=50e^{0,8t}$ (với $t$ tính bằng giờ, $N$ tính bằng triệu cá thể).
- Giai đoạn 2 (sau $3$ giờ): Do nguồn dinh dưỡng cạn kiệt, tốc độ tăng trưởng giảm dần. Từ thời điểm này, số lượng vi khuẩn lúc này tuân theo hàm số $M(t)=A-B{e}^{-0,6t}$.