Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3;1;0 ) , B ( -1;1; 4 ) , C ( 5;1; - 2 ) và mặt phẳng
( P ) : x + 2 y - 2 z + 7 = 0 . Giả sử d là đường thẳng bất kỳ thuộc mặt phẳng ( P ) luôn đi qua điểm
B . Gọi M là hình chiếu của C lên d . Giá trị lớn nhất của AM bằng

Chọn B

+ Gọi I là trung điểm của BC $\Rightarrow$ I ( 2;1;1) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A và I lên
x = 3 + t

mặt phẳng ( P ) . Phương trình tham số đường thẳng AH : y = 1 + 2t .
z = -2t


+ Điểm H $\in$ AH $\Rightarrow$ H ( 3 + t ;1 + 2t ; - 2t ) mà H $\in$ ( P ) $\Rightarrow$ ( 3 + t ) + 2 (1 + 2t ) - 2 ( -2t ) + 7 = 0

4 5 5 8
$\iff$ 9t + 12 = 0 $\iff$ t = - $\Rightarrow$ H  ; - ;  .
3  3 3 3

+ Tương tự ta tìm được toạ độ điểm K (1; - 1;3) . Ta có, AH = 4, IK = 3 và HK = 1 .

+ Hai điểm B, C cố định mà tam giác BMC vuông tại M nên M nằm trên mặt cầu ( S ) tâm
BC
I bán kính IM = = 3 2 , mà M $\in$ ( P ) nên M nằm trên đường tr$\int$ n ( C ) là đường tr$\int$ n
2
giao tuyến của mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) .

+ Đường tr$\int$ n ( C ) có tâm K bán kính KM = IM 2 - IK 2 = 3

+ Xét tam giác AHM vuông tại H có AM = AH 2 + HM 2 = 16 + HM 2 .

mà HM \le HK + KM = 1 + 3 = 4 $\Rightarrow$ AM \le 16 + 42 = 4 2 .
Dấu "=" xảy ra khi K nằm giữa HM .

Vậy giá trị lớn nhất của AM bằng 4 2 .