Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên $\mathbb{R}$ và đường thẳng ( d ) : y = ax + b có đồ thị như hình vẽ.

0 1
37 5
Biết diện tích phần tô đậm bằng và  f ( x ) dx = . Tích phân  xf ' ( 2 x ) dx bằng
12 -1
12 0

Chọn C
Từ đồ thị suy ra được phương trình đường thẳng ( d ) : y = 2 x + 1 .

37
+) Diện tích phần tô đậm bằng , suy ra:
12
2 0 2
37 37
-1 f ( x ) - ( 2 x + 1) dx = 12 $\iff$ -1 [ f ( x ) - ( 2 x + 1)]dx - 0 [ f ( x ) - ( 2 x + 1)]dx = 12
0 0 2 2 2
37 5 37
$\iff$  f ( x )dx -  ( 2 x + 1)dx -  f ( x )dx +  ( 2 x + 1)dx = $\iff$ - 0 -  f ( x )dx + 6 =
-1 -1 0 0
12 12 0
12
2
10
$\iff$  f ( x )dx = .
0
3
1
dt
+) Xét tích phân I =  xf ' ( 2 x ) dx. Đặt 2 x = t $\Rightarrow$ dx = . Đổi cận: x = 0 $\Rightarrow$ t = 0; x = 1 $\Rightarrow$ t = 2.
0
2

2
t dt 1
2
1
2
x = u dx = du
Khi đó I =  f ' ( t ) =  tf ' ( t ) dt =  xf ' ( x ) dx. Đặt $\Rightarrow$
0
2 2 40 40 f ' ( x ) dx = dv f ( x ) = v

2 2 10 10 20
$\Rightarrow$ I = xf ( x ) -  f ( x ) dx = 2 f ( 2 ) - = 2.5 - = .
0 0 3 3 3