Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $2$, tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ và có tâm nằm trên tia $Ox$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z=0$ và điểm $M(0;1;0)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt $(S)$ theo một đường tròn $(C)$ có diện tích nhỏ nhất. Gọi $N(x_0;y_0;z_0)$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho $ON=\sqrt{6}$. Khi đó $y_0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-2=0$ và điểm $I(-1;2;-1)$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $r=5$.

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$, bán kính $R=3$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ điểm $O$ đến $(P)$ bằng 1. Chu vi đường tròn $(C)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;1;-3)$, đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+3}{2}$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=25$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi, luôn đi qua $A$ và song song với $\Delta$. Trong trường hợp $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì $(\alpha )$ có phương trình $ax+by+cz-9=0$. Tính giá trị của biểu thức $S=a-b+c$.

Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1}$ và điểm $A(1;2;1)$. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm $I$ nằm trên $d$, đi qua $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;0;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x-y-2z+3=0$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với $(P)$ là