Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$, bán kính $R=3$. Một mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ điểm $O$ đến $(P)$ bằng 1. Chu vi đường tròn $(C)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;1;-3)$, đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+3}{2}$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=25$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi, luôn đi qua $A$ và song song với $\Delta$. Trong trường hợp $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì $(\alpha )$ có phương trình $ax+by+cz-9=0$. Tính giá trị của biểu thức $S=a-b+c$.

Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1}$ và điểm $A(1;2;1)$. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm $I$ nằm trên $d$, đi qua $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;0;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x-y-2z+3=0$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=20$, mặt phẳng $(P):2x-2y+z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{-1}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, vuông góc với $d$ và cắt $(S)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất. Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(P):x+2y-2z+5=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(-2;1;4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y+z-7=0$ có phương trình là