Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1}$ và điểm $A(1;2;1)$. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm $I$ nằm trên $d$, đi qua $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;0;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x-y-2z+3=0$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=20$, mặt phẳng $(P):2x-2y+z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{-1}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, vuông góc với $d$ và cắt $(S)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất. Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(P):x+2y-2z+5=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(-2;1;4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y+z-7=0$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;2)$ và hai mặt cầu $(S_1):x^2+y^2+z^2-2x-4y+1=0$, $(S_2):x^2+y^2+z^2-6x-2z-15=0$. Gọi đường thẳng $d$ là tiếp tuyến chung của hai mặt cầu $(S_1),(S_2)$, $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $d$. Biết khi $d$ thay đổi thì điểm $H$ luôn chạy trên một đường tròn $(C)$ cố định. Bán kính của đường tròn $(C)$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=49$. Đường thẳng $(d)$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A,B$. Biết các tiếp diện của mặt cầu $(S)$ tại $A,B$ vuông góc với nhau. Độ dài đoạn $AB$ bằng