Cho hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường parabol $(P)$ có đỉnh tại $O$. Gọi $S$ là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay khi cho phần $S$ quay quanh trục $Ox$.


Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ với $O(0;0)$, tia $Ox$ chứa cạnh $OC$, tia $Oy$ chứa cạnh $OA$.
Khi đó $A(0;4),B(4;4),C(4;0)$.
Parabol $(P)$ có đỉnh tại $O(0;0)$ và đi qua điểm $B(4;4)$ nên có phương trình dạng $y=a{x}^2$:
$4=a\cdot 4^2⟹a=\frac{1}{4}⟹(P):y=\frac{1}{4}{x}^2$.
Phần hình phẳng $S$ không bị gạch giới hạn bởi đường thẳng $y=4$, đường parabol $y=\frac{1}{4}{x}^2$, trục tung $x=0$ và đường thẳng $x=4$.
Thể tích khối tròn xoay khi quay $S$ quanh trục $Ox$ là:
$V=\pi {\int }_0^4\left[4^2-{\left(\frac{1}{4}{x}^2\right)}^2\right]dx=\pi {\int }_0^4\left(16-\frac{x^4}{16}\right)dx=\pi {\left(16x-\frac{x^5}{80}\right)|}_0^4=\pi \left(64-\frac{1024}{80}\right)=\pi \left(64-\frac{64}{5}\right)=\frac{256\pi }{5}$. Chọn D.