Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2$ quay quanh trục $Ox$ là

Một thùng làm kem có dạng hình tròn xoay, có mặt cắt qua trục là dạng parabol như hình vẽ. Biết phương trình đường biên parabol có dạng $f(x)=a{x}^2$. Hỏi dung tích của thùng bằng bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x-x^2$ và $y=0$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng $(H)$ khi nó quay quanh trục $Ox$.

Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-x^2$ và $y=0$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng $(H)$ khi nó quay quanh trục $Ox$.

Trong đợt tổ chức HKPĐ tỉnh Nghệ An lần thứ XX, ban tổ chức thiết kế một cổng chào bằng phao chứa không khí ở bên trong, có hình dạng như một nửa cái Săm ô tô khi bơm căng (tham khảo hình vẽ). Cổng chào có chiều cao so với mặt sân là $9\text{ m}$ (tính cả phần phao chứa không khí), phần chân của cổng chào tiếp xúc với mặt sân theo một đường tròn có đường kính là $2\text{ m}$ và bề rộng của cổng chào là $18\text{ m}$ (tính cả phần phao chứa không khí). Bỏ qua độ dày của lớp vỏ cổng chào, mặt sân coi là bằng phẳng. Tính thể tích không khí chứa bên trong cổng chào.

Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $y=h$ (với $h>0$) quanh trục tung $Oy$. Đơn vị đo trên các trục tọa độ là $\text{mm}$. Bên trong vỏ nhựa có đặt một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$. Biết viên kẹo tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ nhựa đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ (xem hình vẽ). Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ nhựa, $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành bằng $20\text{ mm}$. Phần không gian còn lại trong vỏ nhựa được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của ${\text{mm}}^3$, không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn ở bước cuối cùng, bỏ qua độ dày của vỏ).
[IMAGE:img_q21_candy]

Thể tích khối tr$\int$ n xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 - 2 x , y = 0
và x = 3 quay quanh trục Ox bằng