Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-x^2$ và $y=0$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng $(H)$ khi nó quay quanh trục $Ox$.

Trong đợt tổ chức HKPĐ tỉnh Nghệ An lần thứ XX, ban tổ chức thiết kế một cổng chào bằng phao chứa không khí ở bên trong, có hình dạng như một nửa cái Săm ô tô khi bơm căng (tham khảo hình vẽ). Cổng chào có chiều cao so với mặt sân là $9\text{ m}$ (tính cả phần phao chứa không khí), phần chân của cổng chào tiếp xúc với mặt sân theo một đường tròn có đường kính là $2\text{ m}$ và bề rộng của cổng chào là $18\text{ m}$ (tính cả phần phao chứa không khí). Bỏ qua độ dày của lớp vỏ cổng chào, mặt sân coi là bằng phẳng. Tính thể tích không khí chứa bên trong cổng chào.

Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $y=h$ (với $h>0$) quanh trục tung $Oy$. Đơn vị đo trên các trục tọa độ là $\text{mm}$. Bên trong vỏ nhựa có đặt một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$. Biết viên kẹo tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ nhựa đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ (xem hình vẽ). Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ nhựa, $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành bằng $20\text{ mm}$. Phần không gian còn lại trong vỏ nhựa được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của ${\text{mm}}^3$, không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn ở bước cuối cùng, bỏ qua độ dày của vỏ).
[IMAGE:img_q21_candy]

Thể tích khối tr$\int$ n xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 - 2 x , y = 0
và x = 3 quay quanh trục Ox bằng

Câu 4. Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ dm}$), một vật thể tròn xoay được tạo thành bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=a\sin x+b$ ($a,b\in \mathbb{R},a\ne 0$), trục $Ox$, trục $Oy$ và đường thẳng $x=\frac{11\pi }{6}$ quanh trục hoành. Vật thể tròn xoay khi đó có hình dạng là một bình hoa. Bình hoa này có phần đáy bình và phần miệng bình là các đường tròn có bán kính lần lượt bằng $2\text{ dm}$ và $1,5\text{ dm}$. Hỏi thể tích của vật thể tròn xoay đó là bao nhiêu đề–xi–mét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho hàm số f (x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn các điều kiện f (0) = -2 ,

(x + 1) f ' (x ) + xf (x ) = -x , ∀x ∈ ℝ . Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2

1
g (x ) = , hai trục toạ độ và đường thẳng x = 3 . Quay (H ) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay
1 + f (x )
có thể tích bằng V (đơn vị thể tích). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4x-x^2}$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(H)$ xung quanh trục $Ox$.