Cho hàm số f (x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn các điều kiện f (0) = -2 ,

(x + 1) f ' (x ) + xf (x ) = -x , ∀x ∈ ℝ . Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2

1
g (x ) = , hai trục toạ độ và đường thẳng x = 3 . Quay (H ) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay
1 + f (x )
có thể tích bằng V (đơn vị thể tích). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4x-x^2}$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(H)$ xung quanh trục $Ox$.

Hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường cong $(C)$ có phương trình $y=\frac{1}{4}{x}^2$. Gọi $S_1$ là phần hình phẳng không bị gạch chéo (hình vẽ). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $S_1$ xung quanh trục $Ox$.


Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=0,x=a,x=b$ ($a<b$). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ bằng

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5$ ($0\le x\le 30$) ($x,y$ tính theo $\text{cm}$) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục $Ox$. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu centimét khối đất sét, biết rằng bình gốm có độ dày không đổi là $1\text{ cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đồ thị các đường $y=x^2$; $y=-x$; $x=3$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$.
[IMAGE_1]

Từ hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=8\text{ cm}$ và chiều rộng $BC=4\text{ cm}$; Người ta cắt bỏ miền $(R)$ được giới hạn bởi cạnh $CD$ của hình chữ nhật và hai nửa đường parabol có chung đỉnh là trung điểm của cạnh $AB$ như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần còn lại quanh trục $AB$ bằng: