Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5$ ($0\le x\le 30$) ($x,y$ tính theo $\text{cm}$) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục $Ox$. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu centimét khối đất sét, biết rằng bình gốm có độ dày không đổi là $1\text{ cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đồ thị các đường $y=x^2$; $y=-x$; $x=3$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$.
[IMAGE_1]

Từ hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=8\text{ cm}$ và chiều rộng $BC=4\text{ cm}$; Người ta cắt bỏ miền $(R)$ được giới hạn bởi cạnh $CD$ của hình chữ nhật và hai nửa đường parabol có chung đỉnh là trung điểm của cạnh $AB$ như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần còn lại quanh trục $AB$ bằng:

Trên mặt phẳng vẽ hai nửa đường tròn đường kính $AB$, $AD$, với $AB=2AD=4\text{cm}$ như hình vẽ. Cho biết $\widehat{BAC}=30^{\circ }$. Hình phẳng $(H)$ là phần tô đậm nằm giữa hai nửa đường tròn, đường thẳng $AB,AC$. Một kỹ sư cần chế tạo chi tiết máy bằng thép có dạng tròn xoay khi xoay hình phẳng $(H)$ quanh trục $AB$. Biết chi phí sản xuất là $15$ nghìn đồng/${\text{cm}}^3$. Giá tiền sản xuất một chi tiết máy là bao nhiêu nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+2x$ và trục hoành. Quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Một chiếc đồng hồ cát gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ như hình vẽ (mặt nằm ngang là mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ và song song với hai mặt đáy của hình trụ). Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ cát thì chiều cao $h$ của mực cát bằng $\frac{3}{4}$ chiều cao của phần trên đó. Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi $2,90{\text{ (cm}}^3/\text{phuˊt)}$. Khi chiều cao của cát còn $4\text{ cm}$ thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi $8\pi \text{ (cm)}$. Biết sau $30$ phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài gần với số nào nhất?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)f^{\prime }(x)=1+(2x+1)e^{-f^2(x)+x^2+2x+2}$. Biết $f(0)=\sqrt{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ quay quanh trục $Ox$.