Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2\text{ m}$ được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình $4$ cánh hoa giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong mặt phẳng $Oxy$ với gốc tọa độ $O$ là tâm của hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ thì các đường cong $OA$ có phương trình $y=x^2$ và $y=a{x}^3+bx$. Tính giá trị $a\cdot b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ mặt sàn.

[IMAGE:img_q21_flower]

Trong một công viên, người ta xây dựng một hồ nước với hình dạng giới hạn bởi hai đường cong $y=\sqrt{x}$ và $y=\frac{1}{\sqrt{1000}}{x}^2$. Hãy tính diện tích mặt hồ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
[IMAGE_1]

Trong một công viên, người ta xây dựng một hồ nước với hình dạng giới hạn bởi hai đường cong $y=\sqrt{x}$ và $y=\frac{1}{\sqrt{27}}{x}^2$. Hãy tính diện tích mặt hồ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
[IMAGE_1]

Câu 4. Đường cong Lorenz được các nhà kinh tế học biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế, trong khi đó mô hình $y=x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau, trong đó $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập. Diện tích giữa hai mô hình này biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số:
$y=(0,00061x^2+0,0218x+1,723{)}^2,0\le x\le 100$
(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, $8^{\text{th}}$ edition, Cengage Learning, 2009)
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 3. Cho hai hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-2$ và $y=g(x)=d{x}^2+ex+2$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-2;-1;1$.



Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Bác Bình muốn nhờ thợ trang trí một bức tường hình chữ nhật $ADEF$ với kích thước $EF=6\text{ m}$, $DE=3\text{ m}$ sao cho cân xứng hai nửa. Phần gạch chéo là hình giới hạn bởi đường gấp khúc $AFED$ và nửa đường tròn đường kính $AD$, được thuê sơn với đơn giá $250000$ đồng mỗi mét vuông. Phần màu trắng giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $AD$ và một đường parabol (có đỉnh $H$ cách đường thẳng $AB$ một khoảng bằng $2\text{ m}$ và đi qua hai điểm $B,C$ nằm trên cạnh $AD$ thỏa mãn $AB=CD=1,5\text{ m}$) được thuê trang trí bằng bức phù điêu đắp bằng xi măng với đơn giá $1950000$ đồng mỗi mét vuông (tham khảo hình vẽ). Hỏi bác Bình phải trả bao nhiêu triệu đồng để trang trí bức tường như vậy (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của triệu đồng)?

Cho hàm số $f(x)=2x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) có ba điểm cực trị là $-1;1$ và $3$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?