Hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường cong $(C)$ có phương trình $y=\frac{1}{4}{x}^2$. Gọi $S_1$ là phần hình phẳng không bị gạch chéo (hình vẽ). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $S_1$ xung quanh trục $Ox$.


Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=0,x=a,x=b$ ($a<b$). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ bằng

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5$ ($0\le x\le 30$) ($x,y$ tính theo $\text{cm}$) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục $Ox$. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu centimét khối đất sét, biết rằng bình gốm có độ dày không đổi là $1\text{ cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đồ thị các đường $y=x^2$; $y=-x$; $x=3$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$.
[IMAGE_1]

Từ hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=8\text{ cm}$ và chiều rộng $BC=4\text{ cm}$; Người ta cắt bỏ miền $(R)$ được giới hạn bởi cạnh $CD$ của hình chữ nhật và hai nửa đường parabol có chung đỉnh là trung điểm của cạnh $AB$ như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần còn lại quanh trục $AB$ bằng:

Trên mặt phẳng vẽ hai nửa đường tròn đường kính $AB$, $AD$, với $AB=2AD=4\text{cm}$ như hình vẽ. Cho biết $\widehat{BAC}=30^{\circ }$. Hình phẳng $(H)$ là phần tô đậm nằm giữa hai nửa đường tròn, đường thẳng $AB,AC$. Một kỹ sư cần chế tạo chi tiết máy bằng thép có dạng tròn xoay khi xoay hình phẳng $(H)$ quanh trục $AB$. Biết chi phí sản xuất là $15$ nghìn đồng/${\text{cm}}^3$. Giá tiền sản xuất một chi tiết máy là bao nhiêu nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+2x$ và trục hoành. Quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là: