Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ được cho như hình vẽ sau:


Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y=g(x)=[f^{\prime }(x){]}^2-f(x)\cdot f^{\prime \prime }(x)$ và trục $Ox$.

Chọn A.
Từ đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, tức là phương trình $f(x)=0$ có 4 nghiệm thực phân biệt.
Giả sử $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.
Xét đạo hàm của $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$:
${\left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime \prime }(x)f(x)-[f^{\prime }(x){]}^2}{[f(x){]}^2}=-{\sum }_{i=1}^4\frac{1}{(x-x_i{)}^2}<0,\forall x\ne x_i$.
Do đó $[f^{\prime }(x){]}^2-f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f(x){]}^2{\sum }_{i=1}^4\frac{1}{(x-x_i{)}^2}>0,\forall x$.
Vậy phương trình $g(x)=0$ vô nghiệm, tức đồ thị không cắt trục $Ox$ (số giao điểm bằng $0$).