Xét tập $X=\{0;1;2;3;\dots ;8;9\}$. Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có $8$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ $X$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $A$. Tính xác suất để số được chọn có số chữ số lẻ bằng số chữ số chẵn và tổng các số lẻ và tổng số chẵn bằng nhau.

Chọn B.
Số phần tử của không gian mẫu: số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau lập từ 10 chữ số là $n(\Omega )=9\cdot A_9^7=1632960$.
Xét điều kiện: số có 8 chữ số gồm 4 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn.
Tập chữ số lẻ: $\{1,3,5,7,9\}$ có tổng là 25.
Tập chữ số chẵn: $\{0,2,4,6,8\}$ có tổng là 20.
Để tổng 4 chữ số lẻ bằng tổng 4 chữ số chẵn, ta chọn 4 chữ số lẻ (bỏ đi 1 chữ số lẻ $a$) và chọn 4 chữ số chẵn (bỏ đi 1 chữ số chẵn $b$).
Tổng 4 chữ số lẻ là $25-a$, tổng 4 chữ số chẵn là $20-b$.
Do đó $25-a=20-b\iff a-b=5$.
Vì $a\in \{1,3,5,7,9\}$ và $b\in \{0,2,4,6,8\}$, ta có các cặp $(a,b)$:
- $(a,b)=(5,0)\Rightarrow$ chữ số chẵn gồm $\{2,4,6,8\}$ (không có chữ số 0). Chữ số lẻ: $\{1,3,7,9\}$. Số các số tạo thành là $8!=40320$.
- $(a,b)=(7,2)\Rightarrow$ tập chẵn gồm $\{0,4,6,8\}$ (có 0). Chữ số lẻ: $\{1,3,5,9\}$. Số các số tạo thành là $7\cdot 7!=35280$.
- $(a,b)=(9,4)\Rightarrow$ tập chẵn gồm $\{0,2,6,8\}$ (có 0). Chữ số lẻ: $\{1,3,5,7\}$. Số các số tạo thành là $7\cdot 7!=35280$.
Tổng số thỏa mãn là $40320+35280+35280=110880$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{110880}{1632960}=\frac{11}{162}$.