Câu 15THPTChuyên đề: Giao và tiếp xúc mặt cầu mặt phẳng • Lớp 12Phương trình tâm và bán kính mặt cầuKhoảng cách điểm đến mặt bằng tọa độVận dụng#Toán 12#Tốt nghiệp THPT 2026
Trong không gian với hệ tọa độ , một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí , trong đó một đơn vị độ dài trên mỗi trục tương ứng với mét trên thực tế. Trạm thu phát sóng đó có bán kính phủ sóng là mét. Vùng phủ sóng của trạm thu phát được quy ước là tập hợp tất cả các điểm trên mặt đất và trong không gian sao cho khoảng cách không vượt quá mét. Mặt đất được coi là một phần của mặt phẳng và mỗi người trên mặt đất được coi như một chất điểm.
Trong không gian với hệ tọa độ , một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí , trong đó một đơn vị độ dài trên mỗi trục tương ứng với mét trên thực tế. Trạm thu phát sóng đó có bán kính phủ sóng là mét. Vùng phủ sóng của trạm thu phát được quy ước là tập hợp tất cả các điểm trên mặt đất và trong không gian sao cho khoảng cách không vượt quá mét. Mặt đất được coi là một phần của mặt phẳng và mỗi người trên mặt đất được coi như một chất điểm.
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Vùng phủ sóng của trạm thu phát là một phần của hình cầu giới hạn bởi mặt cầu có phương trình .
b)
Giả sử một người cầm điện thoại đang ở vị trí điểm và chuyển động thẳng đều trên mặt đất với tốc độ . Khi đó, tại giây thứ tính từ lúc xuất phát ở vị trí điểm , người đó đã đi được ra ngoài vùng phủ sóng của trạm thu phát.
c)
Khoảng cách ngắn nhất để một người cầm điện thoại đang ở vị trí có tọa độ di chuyển trên mặt đất tới được vùng phủ sóng (theo đơn vị mét) là .
d)
Giả sử một người cầm điện thoại chuyển động thẳng đều trên mặt đất từ vị trí đến vị trí với tốc độ sao cho khoảng thời gian người đó thuộc vùng phủ sóng đúng bằng giây. Khi đó .
Đáp án chính thức: a:Đ,b:S,c:S,d:Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Đúng: Bán kính phủ sóng ứng với đơn vị nên mặt cầu có phương trình .
b) Sai: Giao của hình cầu với mặt đất là hình tròn tâm , bán kính đơn vị (). Ta có ; sau với vận tốc , quãng đường đi được là nên khoảng cách từ đến người đó tối đa là , tức chưa ra ngoài vùng phủ sóng.
c) Sai: đơn vị (), nên khoảng cách ngắn nhất từ đến vùng phủ sóng là .
d) Đúng: Chiều dài dây cung thuộc vùng phủ sóng là đơn vị, nên . Đường thẳng trong có phương trình , từ suy ra .
b) Sai: Giao của hình cầu với mặt đất là hình tròn tâm , bán kính đơn vị (). Ta có ; sau với vận tốc , quãng đường đi được là nên khoảng cách từ đến người đó tối đa là , tức chưa ra ngoài vùng phủ sóng.
c) Sai: đơn vị (), nên khoảng cách ngắn nhất từ đến vùng phủ sóng là .
d) Đúng: Chiều dài dây cung thuộc vùng phủ sóng là đơn vị, nên . Đường thẳng trong có phương trình , từ suy ra .