Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;1),B(-3;2;4),C(0;4;5),D(m;0;2m)$. Tìm giá trị dương của $m$ để khối tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $\frac{17}{2}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm nào dước đây là hình chiếu vuông góc của điểm
B ( 2; −1;5 ) trên trục Oz?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$; cho hai vectơ $\vec{m}=(1;1;4)$, $\vec{n}=(4;1;1)$. Vectơ nào dưới đây vuông góc với cả hai vectơ $\vec{m}$ và $\vec{n}$?

Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với kích thước: dài $AD=8$ mét, rộng $AB=6$ mét, cao $A{A}^{\prime }=4$ mét. Kỹ sư thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ để số hóa căn phòng như sau: Gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đặt tại $A$; các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các cạnh $AD,AB,A{A}^{\prime }$ (chiều dương lần lượt từ $A$ đến $D$, từ $A$ đến $B$, từ $A$ đến $A^{\prime }$) (Đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Hệ thống giám sát gồm một camera gắn tại tâm $S$ của mặt trần $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và một cảm biến hồng ngoại gắn tại đỉnh $C$ (đỉnh đối diện với $A$ trên mặt sàn $ABCD$). Camera đang giám sát một bức tranh được treo chính giữa bức tường $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$, gọi $P$ là tâm của bức tranh (cũng là tâm của hình chữ nhật $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$).

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $I$ là tâm của mặt bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $K$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$. Cho biết $\overrightarrow{IB}\cdot \overrightarrow{AK}=n{a}^2$ ($n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;-2)$ và $B(2;2;1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $A(2;3;4)$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ có tọa độ là