Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
[IMAGE_1]
Xét các mệnh đề sau:
(I) $f(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị.
(II) $f(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$.
(III) $f(x)$ nghịch biến trên $(-1;1)$.
(IV) $f(x)$ đạt cực trị tại $x=0;x=\pm 1$.
Số mệnh đề **đúng** trong bốn mệnh đề trên là

Đây là đồ thị của hàm số đạo hàm $y=f^{\prime }(x)$. Từ đồ thị ta thấy $f^{\prime }(x)=0$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt ($x=0$, một điểm thuộc $(-2;-1)$ và một điểm thuộc $(1;2)$) và đổi dấu qua cả $3$ điểm đó, nên mệnh đề (I) đúng. Các điểm cực trị của $f(x)$ không phải là $\pm 1$ (vì $x=\pm 1$ là điểm cực trị của $f^{\prime }(x)$, tại đó $f^{\prime }(-1)=1\ne 0,f^{\prime }(1)=-1\ne 0$), nên (IV) sai. Trên $(1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)$ vẫn âm trên khoảng từ $1$ đến nghiệm dương nên (II) sai. Trên $(-1;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên (III) sai. Vậy chỉ có $1$ mệnh đề đúng.