Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}(1;2;4),\vec{v}(4;2;-2)$. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$; cho hai vectơ $\vec{m}=(1;1;4)$, $\vec{n}=(4;1;1)$. Vectơ nào dưới đây vuông góc với cả hai vectơ $\vec{m}$ và $\vec{n}$?

Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với kích thước: dài $AD=8$ mét, rộng $AB=6$ mét, cao $A{A}^{\prime }=4$ mét. Kỹ sư thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ để số hóa căn phòng như sau: Gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đặt tại $A$; các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các cạnh $AD,AB,A{A}^{\prime }$ (chiều dương lần lượt từ $A$ đến $D$, từ $A$ đến $B$, từ $A$ đến $A^{\prime }$) (Đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Hệ thống giám sát gồm một camera gắn tại tâm $S$ của mặt trần $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và một cảm biến hồng ngoại gắn tại đỉnh $C$ (đỉnh đối diện với $A$ trên mặt sàn $ABCD$). Camera đang giám sát một bức tranh được treo chính giữa bức tường $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$, gọi $P$ là tâm của bức tranh (cũng là tâm của hình chữ nhật $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$).

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $I$ là tâm của mặt bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $K$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$. Cho biết $\overrightarrow{IB}\cdot \overrightarrow{AK}=n{a}^2$ ($n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\phi$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, với $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$, khi đó $\cos \phi$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $4$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ a = ( 2; - 1;1) ; b = (1;1; - 3) . Tích vô hướng a . b là